Zgłaszanie rozwiązań jest dostępne w Panelu Ucznia po zalogowaniu i wybraniu etapu.

Dodawanie na kartce

Jaś wymyślił zabawę w dodawanie. Polega ona na tym, że prosi Małgosię o podanie dwóch liczb całkowitych dodatnich. Zapisuje je na kartce, najpierw mniejszą, potem większą. Jeśli liczby są równe, to oczywiście kolejność nie ma znaczenia. Następnie, dopóki mu się nie znudzi, dopisuje po prawej stronie kolejne liczby, będące sumą dwóch poprzednich. Na końcu liczy, ile liczb zapisał.

Przykład

Małgosia podała Jasiowi liczby 1 oraz 4. Jaś zapisał na kartce 6 liczb. Są to kolejno: 1, 4, 5, 9, 14, 23.

Pytania dla klas 4-8

Pytanie 1.1.

Małgosia podała liczby 1 i 2. Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe?

  1. 1.1.1 Czwarta liczba zapisana przez Jasia to 5.
  2. 1.1.2 Siódma liczba zapisana przez Jasia jest większa od 20.
  3. 1.1.3 Ósma liczba zapisana przez Jasia jest mniejsza od 30.
  4. 1.1.4 Szósta liczba zapisana przez Jasia to 15.


Pytanie 1.2.

Małgosia podała Jasiowi liczby 1 i 3. Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe?

  1. 1.2.1 Trzecia liczba jaką zapisał była parzysta.
  2. 1.2.2 Piąta liczba jaką zapisał była nieparzysta.
  3. 1.2.3 Piętnasta liczba jaką zapisał była parzysta.
  4. 1.2.4 Trzydziesta trzecia liczba jaką zapisał była parzysta.


Pytanie 1.3.

Jaś przez chwilę nie uważał i okazało się, że ktoś nakleił mu kilka naklejek na kartkę z liczbami. Na kartce jest pięć liczb, wszystkie poza czwartą są zaklejone. Czwarta liczba to 18. Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe?

  1. 1.3.1 Pierwszą liczbą może być liczba 3.
  2. 1.3.2 Drugą liczbą może być liczba 7.
  3. 1.3.3 Pierwszą liczbą może być 2 i jednocześnie piątą liczbą może być 30.
  4. 1.3.4 Piątą liczbą może być 29.


Pytania dla klas 7-8

Pytanie 1.4.

Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe?

  1. 1.4.1 Małgosia podała Jasiowi dwie liczby parzyste, więc 2022 liczba zapisana przez Jasia będzie parzysta.
  2. 1.4.2 Małgosia podała Jasiowi liczby 1 i 4, więc 101 liczba będzie nieparzysta.
  3. 1.4.3 Małgosia podała Jasiowi liczby 2 i 3, więc 100 liczba będzie parzysta.
  4. 1.4.4 Małgosia podała Jasiowi liczby 5 i 9, więc 102 liczba będzie nieparzysta.


Pytanie 1.5.

Jaś ma kartkę po zakończonej zabawie. Zauważył, że ostatnia liczba składa się z jednej cyfry więcej niż przedostatnia liczba.

  1. 1.5.1 Jeśli ostatnia liczba składa się tylko z cyfr 9, to Jaś zapisał tylko dwie liczby.
  2. 1.5.2 Jeśli Jaś zapisał 3 liczby, to pierwszą cyfrą przedostatniej liczby może być 4.
  3. 1.5.3 Jeśli Jaś ma zapisanych 7 liczb, to pierwszą cyfrą przedostatniej liczby może być 6.
  4. 1.5.4 Jeśli Małgosia podała liczby jednocyfrowe, to pierwszą cyfrą ostatniej liczby musi być 1.


Klocki

Jaś i Małgosia mają dużą kolekcję klocków. Wspólnie wymyślili zabawę w zgadywanie. Polega ona na tym, że Jaś stawia przed sobą 4 pudełka w taki sposób, aby Małgosia nie widziała ich zawartości. Na początku wszystkie pudełka są puste.
Następnie Jaś wkłada lub wyjmuje z pudełek pewne liczby klocków. Może też przesypywać klocki pomiędzy pudełkami lub wysypać wszystkie klocki z pudełka. Małgosia widzi dokładnie, co robi Jaś i notuje każdy jego ruch na kartce w postaci ponumerowanej listy. Na koniec sprawdza swoje notatki, liczy i zgaduje, jaka liczba klocków znajduje się w poszczególnych pudełkach, a Jaś odpowiada, czy Małgosia podała prawidłową odpowiedź.
Dla uproszczenia zabawy, dzieci nadały pudełkom proste nazwy: A, B, C, D.

Przykład

Przykładowe zapiski Małgosi wyglądają następująco:

1. Jaś włożył 3 klocki do pudełka A
2. Jaś włożył 5 klocków do pudełka B
3. Jaś wyjął 2 klocki z pudełka A
4. Jaś przesypał klocki z pudełka A do pudełka B
5. Jaś włożył 2 klocki do pudełka A

Na podstawie tych zapisków, Małgosia ustaliła, że na koniec zabawy w pudełkach znajdowały się kolejno:
A - 2 klocki
B - 6 klocków
C - 0 klocków
D - 0 klocków
Jaś potwierdził, że odpowiedź podana przez Małgosię jest prawidłowa.

Pytania dla klas 4-8

Pytanie 2.1.

Podczas jednej z zabaw, zapiski Małgosi wyglądały w następujący sposób:

1. Jaś włożył 2 klocki do pudełka A
2. Jaś włożył 2 klocki do pudełka B
3. Jaś włożył 3 klocki do pudełka A
4. Jaś wyjął 1 klocek z pudełka B
5. Jaś przesypał klocki z pudełka A do pudełka B
6. Jaś włożył 1 klocek do pudełka A
  1. 2.1.1 W pudełku B jest o 6 klocków więcej niż w pudełku A.
  2. 2.1.2 W pudełku A jest 1 klocek.
  3. 2.1.3 W pudełku B jest więcej klocków niż w pudełku A.
  4. 2.1.4 W pudełku B jest 7 klocków.


Pytanie 2.2.

Kolejnego razu, jeszcze przed rozpoczęciem zabawy, dzieci zauważyły, że w ich pudełkach już są klocki - w każdym dokładnie 2.
Jaś zdecydował, że należy to zignorować i bawić się dalej. Małgosia się zgodziła, ale zapisała sobie na początku odpowiednią notatkę. Na koniec zapiski Małgosi wyglądały następująco:

1. W każdym pudełku są po 2 klocki
2. Jaś włożył 4 klocki do pudełka B
3. Jaś przesypał klocki z pudełka A do pudełka D
4. Jaś wysypał wszystkie klocki z pudełka C
5. Jaś włożył 3 klocki do pudełka C
  1. 2.2.1 Pudełko A to jedyne puste pudełko.
  2. 2.2.2 W pudełku D jest więcej klocków niż w jakimkolwiek innym.
  3. 2.2.3 W pudełku C jest 5 klocków.
  4. 2.2.4 W pudełku D jest więcej klocków niż w pudełku C.


Pytanie 2.3.

Po jednej z takich zabaw, Małgosia zauważyła, że jeden z jej zapisków był nieczytelny:

1. Jaś włożył 4 klocki do pudełka A
2. Jaś włożył 3 klocki do pudełka B
3. #######
4. Jaś przesypał wszystkie klocki z pudełka B do pudełka A
5. Jaś wyjął 3 klocki z pudełka A
6. Jaś włożył 3 klocki do pudełka B

Na prośbę Małgosi, Jaś podpowiedział jej, że w pudełku A na koniec zabawy było 6 klocków.
Jakie polecenie mogło się znaleźć w miejscu nieczytelnego zapisku (numer 3)?

  1. 2.3.1 Jaś wyjął 2 klocki z pudełka B.
  2. 2.3.2 Jaś włożył 5 klocków do pudełka B.
  3. 2.3.3 Jaś włożył 2 klocki do pudełka A.
  4. 2.3.4 Jaś włożył 2 klocki do pudełka B.


Wprowadzenie do pytań 2.4 dla klas 4-8 oraz 2.5 dla klas 7-8

Pewnego dnia, Małgosia nie mogła odwiedzić Jasia, więc zaczął się bawić klockami sam i zapamiętywał co robi. Kiedy przy następnej okazji spotkał się z Małgosią, opowiedział jej co robił, a Małgosia utworzyła zapiski z opowieści Jasia. Jaś nie chciał jednak, żeby Małgosia zgadła wszystko zbyt łatwo, więc dla utrudnienia użył słowa "jeżeli". Poniżej jest pokazany przykład jego użycia:

1. Jaś włożył 4 klocki do pudełka A
2. Jaś wyjął 1 klocek z pudełka A
3. Jaś przesypał klocki z pudełka A do pudełka B, jeżeli w pudełku A było więcej niż 2 klocki
4. Jaś włożył 2 klocki do pudełka A
5. Jaś włożył 1 klocek do pudełka C, jeżeli w pudełku B nie było żadnych klocków

Oznacza to, że Jaś wykonał następujące operacje:
1: Jaś włożył 4 klocki do pudełka A
2: Jaś wyjął 1 klocek z pudełka A
3: Jaś przesypał klocki z pudełka A do pudełka B, bo w pudełku A były 3 klocki, a więc więcej niż 2
4: Jaś włożył 2 klocki do pudełka A
5: Jaś nie włożył klocka do pudełka C, bo w pudełku B były 3 klocki

To oznacza, że w pudełkach znajdowały się kolejno:
A - 2 klocki
B - 3 klocki
C - 0 klocków
D - 0 klocków



Pytanie 2.4.

Zapiski Małgosi wyglądały następująco:

1. Jaś włożył 2 klocki do pudełka A
2. Jaś włożył 3 klocki do pudełka B
3. Jaś włożył 2 klocki do pudełka C
4. Jaś przesypał klocki z pudełka B do pudełka C
5. Jaś włożył 1 klocek do pudełka D, jeżeli w pudełku C były więcej niż 3 klocki
6. Jaś wyjął 4 klocki z pudełka C
7. Jaś włożył 4 klocki do pudełka B
8. Jaś wysypał wszystkie klocki z pudełka A, jeżeli w pudełku D nie było żadnych klocków
9. Jaś włożył 3 klocki do pudełka C, jeżeli w pudełku D był przynajmniej jeden klocek
  1. 2.4.1 Pudełko A jest puste.
  2. 2.4.2 W pudełku B i pudełku C jest tyle samo klocków.
  3. 2.4.3 W każdym pudełku są jakieś klocki.
  4. 2.4.4 W pudełku B są dokładnie 4 klocki.


Pytania dla klas 7-8

Pytanie 2.5.

Małgosia zauważyła, że kolejny raz jej notatki były nieczytelne w jednym miejscu. Jej zapiski wyglądały następująco:

1. Jaś włożył 3 klocki do pudełka B
2. #######
3. Jaś włożył 2 klocki do pudełka C, jeżeli w pudełku A były więcej niż 2 klocki
4. Jaś wysypał wszystkie klocki z pudełka A
5. Jaś włożył 1 klocek do pudełka A, jeżeli w pudełku C był przynajmniej jeden klocek
6. Jaś włożył 2 klocki do pudełka B, jeżeli w pudełku B nie było żadnych klocków
7. Jaś włożył 2 klocki do pudełka D
8. Jaś włożył 1 klocek do pudełka D, jeżeli w pudełku B były przynajmniej 3 klocki
9. Jaś włożył 1 klocek do pudełka A, jeżeli w pudełku D były mniej niż 3 klocki

Na prośbę Małgosi, Jaś wyjawił, że na koniec zabawy w pudełku A był 1 klocek.
Jakie polecenie mogło się znaleźć w miejscu nieczytelnego zapisku (numer 2)?

  1. 2.5.1 Jaś włożył 1 klocek do pudełka C.
  2. 2.5.2 Jaś włożył 2 klocki do pudełka A.
  3. 2.5.3 Jaś włożył 4 klocki do pudełka A.
  4. 2.5.4 Jaś przesypał klocki z pudełka B do pudełka A.


Światełka

Jaś mieszka w bloku składającym się z dziesięciu kondygnacji: parteru i dziewięciu pięter, ponumerowanych od 1 do 9. Pewnego dnia, kiedy wracał do domu, jego uwagę zwróciły światła w oknach na klatce schodowej. Na każdej kondygnacji jest włącznik i jedna lampa. Pomyślał, że fajnie by było zmieniać układ zapalonych świateł. I wtedy wymyślił zabawę.
Zabawa polega na wbieganiu do budynku i gaszeniu świateł na kolejnych kondygnacjach, zaczynając od parteru, aż do pierwszej kondygnacji na której światło jest zgaszone. Na niej Jaś zapala światło i wybiega z budynku. Po wybiegnięciu, patrzy przez chwilę na układ zapalonych świateł i powtarza zabawę, za każdym razem zaczynając od parteru. Jeśli światła palą się na wszystkich piętrach, to Jaś kończy zabawę.
Dla uproszczenia, mówiąc o świetle zapalonym na pewnym piętrze, mówimy zawsze o lampie na klatce schodowej na tym piętrze.

Przykład

Jeśli Jaś wbiegnie do budynku, w którym światła zapalone są tylko na parterze oraz na drugim i czwartym piętrze, to po wybiegnięciu, światła palą się na pierwszym, drugim i czwartym piętrze. Jeśli wbiegnie do budynku jeszcze dwa razy, to ostatecznie światła będą się palić tylko na trzecim i czwartym piętrze (tak jak na rysunkach poniżej).

Jaś wszedł do budynku tylko raz:

Światła przed zabawą Światła po zabawie

Jaś wszedł do budynku trzy razy:

Światła przed zabawą Światła po zabawie

Pytania dla klas 4-8

Pytanie 3.1.

Pewnego dnia Jaś zauważył, że światło pali się tylko na pierwszym piętrze, a na parterze i pozostałych piętrach jest zgaszone.

  1. 3.1.1 Po pierwszym wejściu Jasia do budynku światło na pierwszym piętrze będzie zgaszone.
  2. 3.1.2 Po pierwszym wejściu Jasia do budynku światło będzie zapalone na dwóch kondygnacjach klatki schodowej.
  3. 3.1.3 Jeśli Jaś wejdzie do budynku 2 razy, to na drugim piętrze światło będzie zapalone.
  4. 3.1.4 Jeśli Jaś wejdzie do budynku 6 razy, to światła będą się palić na parterze, pierwszym oraz drugim piętrze.


Pytanie 3.2.

Na początku zapalone było światło tylko na parterze budynku, a następnie Jaś wszedł do budynku kilka razy.

  1. 3.2.1 Jeśli światło pali się tylko na parterze i pierwszym piętrze, to Jaś wszedł do budynku 2 razy.
  2. 3.2.2 Jeśli światło pali się tylko na drugim piętrze, to Jaś wszedł do budynku 4 razy.
  3. 3.2.3 Jeśli światło pali się tylko na pierwszym i drugim piętrze, to Jaś wszedł do budynku 5 razy.
  4. 3.2.4 Jeśli światło pali się tylko na parterze, pierwszym i drugim piętrze, to Jaś wszedł do budynku 4 razy.


Pytanie 3.3.

Na koniec zabawy światła palą się tylko na piętrze drugim, trzecim i piątym.

  1. 3.3.1 Jeśli Jaś wszedł do budynku 5 razy, to na początku zabawy paliły się tylko światła na parterze oraz na drugim i piątym piętrze.
  2. 3.3.2 Jeśli Jaś wszedł do budynku 6 razy, to na początku zabawy paliły się tylko światła na pierwszym, drugim i piątym piętrze.
  3. 3.3.3 Możliwe, że na początku zabawy paliły się jednocześnie światła na czwartym i piątym piętrze.
  4. 3.3.4 Jaś musiał wejść do budynku co najmniej 13 razy, jeżeli na początku zabawy światło na piątym piętrze nie było zapalone.


Pytania dla klas 7-8

Pytanie 3.4.

Na końcu zabawy światła są zapalone tylko na trzecim, piątym i dziewiątym piętrze.

  1. 3.4.1 Jeśli Jaś wszedł do budynku 500 razy, to zanim zaczął zabawę na czwartym piętrze było zapalone światło.
  2. 3.4.2 Jeśli przed rozpoczęciem zabawy na ósmym piętrze paliło się światło, a na szóstym było zgaszone to Jaś musiał wejść do budynku ponad 52 razy.
  3. 3.4.3 Jeśli na początku zabawy paliło się światło na parterze, to Jaś mógł wbiec parzystą liczbę razy.
  4. 3.4.4 Możliwe jest, że na początku zabawy było zapalonych 6 świateł.


Pytanie 3.5.

Na początku zabawy na parterze i czwartym piętrze pali się światło, na siódmym jest zgaszone. Nie wiemy jak jest na pozostałych piętrach.

  1. 3.5.1 Jeśli Jaś wejdzie do budynku 15 razy, to światło na czwartym piętrze na pewno będzie zgaszone.
  2. 3.5.2 Jeśli Jaś wejdzie do budynku 15 razy, to światło na piątym piętrze na pewno będzie zapalone.
  3. 3.5.3 Jeśli Jaś wejdzie do budynku 111 razy, to światło na siódmym piętrze na pewno będzie zapalone.
  4. 3.5.4 Jeśli Jaś wejdzie do budynku 400 razy, to światło na siódmym piętrze na pewno będzie zapalone.