Powrót

Klucz odpowiedzi

Etap I

Punktowanie zadań:

  • Pytania zamknięte/numeryczne:
    • 5 punktów za prawidłową odpowiedź.
    • 3 punktów za brak odpowiedzi.
    • 0 punktów za błędną odpowiedź.

Uczniowie klas 4-6 mogli otrzymać maksymalnie 200 punktów za wszystkie zadania.

Uczniowie klas 7-8 mogli otrzymać maksymalnie 300 punktów za wszystkie zadania.

Odpowiedzi do modułów:

Dodawanie na kartce

Odpowiedzi na pytania zamknięte/numeryczne:

Zadanie Odpowiedź
Klasy 4-8 1.1.1 Prawda
1.1.2 Prawda
1.1.3 Fałsz
1.1.4 Fałsz
1.2.1 Prawda
1.2.2 Prawda
1.2.3 Prawda
1.2.4 Prawda
1.3.1 Fałsz
1.3.2 Prawda
1.3.3 Fałsz
1.3.4 Prawda
Klasy 7-8 1.4.1 Prawda
1.4.2 Fałsz
1.4.3 Prawda
1.4.4 Fałsz
1.5.1 Prawda
1.5.2 Fałsz
1.5.3 Prawda
1.5.4 Prawda

Omówienie

Liczby zapisywane na kartce tworzą ciąg liczbowy, którego definicja jest podobna do ciągu Fibonacciego. Różnica polega na tym, że pierwsze dwie liczby w ciągu mogą być dowolnymi liczbami naturalnymi. Wiedza na temat podobieństwa do ciągu Fibonacciego nie była jednak potrzebna do rozwiązania tego zadania.
Po rozpisaniu ciągu liczb z zadania i dokładnym zbadaniu poszczególnych jego elementów, można poczynić kilka spostrzeżeń, pomocnych przy ustalaniu odpowiedzi na pytania:
  1. Parzystość liczb w ciągu zależy od tego, jakie dwie liczby pojawią się na kartce jako pierwsze (liczby parzyste zostały oznaczone jako P, a nieparzyste jako N):
    • jeśli ciąg zaczyna się od dwóch liczb parzystych, to wszystkie pozostałe liczby będą parzyste. Ciąg przyjmuje wtedy postać: P P P P P P P P P P
    • jeśli ciąg zaczyna się od dwóch liczb nieparzystych, to liczba parzysta powtarzać się będzie co 3 liczby: N N P N N P N N P N
    • jeśli ciąg zaczyna się od liczby parzystej i nieparzystej, to liczba parzysta również będzie powtarzać się co 3 liczby, ale w innym miejscu: P N N P N N P N N P
    • jeśli ciąg zaczyna się od liczby nieparzystej i parzystej, to liczba parzysta również będzie powtarzać się co 3 liczby, ale w innym miejscu: N P N N P N N P N N
    Przypominamy, że liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
  2. Nie wszystkie liczby mogą pojawić się w danym ciągu. Widać to np. w pytaniu 1.3.3:
  3. Aby odpowiedzią na pytanie była "prawda", musiałoby dać się zapisać zgodnie z założeniami zadania następujący ciąg liczb:
    2 X Y 18 30
    Znamy 3 liczby, dwie pozostają nieznane - X i Y.
    Policzmy Y. Wiemy, że Y + 18 = 30. Tak więc Y = 30 - 18 = 12.
    Policzmy X. Wiemy, że X + Y = 18. Tak więc X + 12 = 18. Wynika z tego, że X = 18 - 12 = 6.
    Znamy już wszystkie liczby, ale widać, że rozwiązanie to nie spełnia ustalonych wymagań, ponieważ 2 + X powinno być równe Y. Tymczasem otrzymujemy 2 + 6 = 12, co oczywiście nie jest prawdą. Oznacza to, że nie da się zapisać ciągu, który będzie spełniał założenia zadania i zawierał liczbę 2 na pierwszym miejscu a 30 na piątym.
  4. W zadaniu dla klas 7-8 pojawiają się dodatkowe zależności. Rozważmy tę opisaną w pytaniu 1.5.4:
  5. "Jeśli Małgosia podała liczby jednocyfrowe, to pierwszą cyfrą ostatniej liczby musi być 1."
    Z treści pytania wynika, że początkowe liczby są jednocyfrowe, np. 2 i 5. Ostatnia liczba ma jedną cyfrę więcej niż przedostatnia. Należy zauważyć, że aby pierwsza cyfra ostatniej liczby była jak największa, należy sumować jak największe liczby. Weźmy w takim razie dwie największe liczby jednocyfrowe: 9 i 9. Po ich zsumowaniu otrzymujemy 18. Pierwsza cyfra liczby 18 to 1. Podobne sprawdzenie dla przypadków z większą liczbą cyfr daje podobny rezultat: 99 + 99 = 198. Po sprawdzeniu jeszcze kilku przypadków można zauważyć, że rzeczywiście w przypadku opisanym w zadaniu pierwsza cyfra zawsze będzie wynosiła 1. Zauważenie tej zależności jest również wskazówką do odpowiedzi na pytanie 1.5.1.

Klocki

Odpowiedzi na pytania zamknięte/numeryczne:

Zadanie Odpowiedź
Klasy 4-8 2.1.1 Fałsz
2.1.2 Prawda
2.1.3 Prawda
2.1.4 Fałsz
2.2.1 Prawda
2.2.2 Fałsz
2.2.3 Fałsz
2.2.4 Prawda
2.3.1 Fałsz
2.3.2 Fałsz
2.3.3 Prawda
2.3.4 Prawda
2.4.1 Fałsz
2.4.2 Prawda
2.4.3 Prawda
2.4.4 Prawda
Klasy 7-8 2.5.1 Prawda
2.5.2 Fałsz
2.5.3 Prawda
2.5.4 Fałsz

Omówienie

W zadaniu klocki został zawarty opis działań dzieci, w którym po bliższym przyjrzeniu można zauważyć bardzo prosty język programowania. Kolejne działania wykonywane przez Jasia (instrukcje) opisują zmiany stanu (liczby klocków w pudełkach), a lista tych instrukcji tworzy razem coś na kształt programu. Wykonanie wszystkich instrukcji powoduje przejście ze stanu początkowego do stanu końcowego. Aby poprawnie rozwiązać to zadanie, ważne było dokładne zrozumienie tego, co robią poszczególne instrukcje.
Dla przykładu instrukcja "przesypania klocków" nie tylko zwiększa liczbę klocków w pudełku, do którego klocki są przesypywane, ale również usuwa wszystkie klocki z pudełka, z którego te klocki są przesypywane. Po wykonaniu tej instrukcji w pudełkach musi pozostać łącznie taka sama liczba klocków, jaka była w nich przed jej wykonaniem.
Inaczej w tym wypadku zachowują się instrukcje "włożenia" i "wyjęcia" pewnej liczby klocków, oraz instrukcja "wysypania wszystkich klocków". Po ich wykonaniu łączna liczba klocków w pudełkach ulega zmianie.
W zadaniach dla klas 7-8 pojawia się dodatkowo instrukcja warunkowa, w postaci słowa "jeżeli". Powoduje ona, że wykonanie pewnej instrukcji jest zależne od stanu klocków w pudełkach. Aby znaleźć poprawną odpowiedź należało dokładnie zbadać stan pudełek w momencie dotarcia do instrukcji warunkowej i ustalić, czy zostanie ona wykonana.
Większość instrukcji użytych w tym zadaniu jest odpowiednikami instrukcji wykorzystywanych w języku Assembly jak również w większości rzeczywistych języków programowania.

Światełka

Odpowiedzi na pytania zamknięte/numeryczne:

Zadanie Odpowiedź
Klasy 4-8 3.1.1 Fałsz
3.1.2 Prawda
3.1.3 Prawda
3.1.4 Fałsz
3.2.1 Prawda
3.2.2 Fałsz
3.2.3 Prawda
3.2.4 Fałsz
3.3.1 Fałsz
3.3.2 Prawda
3.3.3 Fałsz
3.3.4 Prawda
Klasy 7-8 3.4.1 Prawda
3.4.2 Prawda
3.4.3 Fałsz
3.4.4 Prawda
3.5.1 Prawda
3.5.2 Fałsz
3.5.3 Prawda
3.5.4 Fałsz

Omówienie

Do poprawnego rozwiązania zadania światełka wymagane było znalezienie sposobu, w jaki działa włączanie świateł w opisanym przypadku. W pierwszych zadaniach metoda bazująca na ręcznej symulacji poszczególnych wejść do budynku pozwalała znaleźć odpowiednie rozwiązanie w dość krótkim czasie. Oczywiście należało pamiętać o sposobie, w jaki Jaś zapala światła i dokładnie sprawdzać jak potoczy się jego zabawa. W zadaniach dla klas 7-8 rozwiązanie bazujące na rozpatrywaniu poszczególnych wejść do budynku przestawało się już sprawdzać, ze względu na dużo większą liczbę pięter, na które wbiega Jaś.
W związku z tym należało poszukać ogólnej, matematycznej zasady działania opisanej zabawy. Ważne spostrzeżenie, od którego można było zacząć, zostało opisane poniżej.
Pierwsze uogólnienie, to potraktowanie parteru jako piętra o numerze 0. W ten sposób całe pozostałe rozumowanie można zastosować do wszystkich pięter i parteru łącznie. Rozważmy przypadek, w którym światło nie pali się nigdzie. Zastanówmy się ile razy należy wejść do budynku, aby zapalić światło na poszczególnych piętrach.
  • Ile razy trzeba wejść do budynku, aby zapalić światło na 0 piętrze (parterze)?
  • Łatwo sprawdzić, że w takiej sytuacji należy wejść do budynku tylko raz, ponieważ interesujące nas piętro będzie pierwszym, na które trafi Jaś.
  • Ile razy trzeba wejść do budynku, aby zapalić światło na 1 piętrze?
  • Możemy to sprawdzić, symulując kolejne wejścia. Po pierwszym wejściu światło będzie zapalone tylko na piętrze 0. Po drugim wejściu będzie zapalone tylko na piętrze 1. Tak więc potrzeba wejść 2 razy.
  • Ile razy trzeba wejść do budynku, aby zapalić światło na 2 piętrze?
  • Zastosujmy metodę jak powyżej. Wiemy jak będą wyglądać dwa pierwsze wejścia, opisane powyżej. Po trzecim wejściu światło zapalone będzie na 0 i 1 piętrze. Po czwartym wejściu zapalone będzie tylko na 2 piętrze.
  • Ile razy trzeba wejść do budynku, aby zapalić światło na 3 piętrze?
  • Stosując dalej metodę jak powyżej dojdziemy do wniosku, że po siedmiu wejściach do budynku światło będzie zapalone na 0, 1 i 2 piętrze. Po ósmym wejściu zapalone będzie z kolei tylko na 3 piętrze. Na tym etapie można zauważyć, że znaleziona zależność jest w rzeczywistości opisem systemu binarnego. Rozwiązanie zadania i sposób działania można opisać również nie wiedząc, że jest to system binarny, ale analogia do niego upraszcza dalszą pracę, ponieważ zasady zapalania świateł korzystają z tych samych mechanizmów co operacje na liczbach binarnych. Dla porządku, poniżej tabelka z odkrytą zależnością „Ile razy należy wejść do budynku by zaczynając od stanu, w którym wszystkie światła są zgaszone zapalić po raz pierwszy światło na podanym piętrze”:
    Piętro Liczba wejść
    01
    12
    24
    38
    416
    532
    664
    7128
    8256
    9512
Dalej można zauważyć, że jeśli światło zostałoby zapalone przy pewnym wejściu do budynku, to zgaśnie po tylu wejściach ile podane jest w tabeli, a zostanie ponownie zapalone za dwa razy tyle wejść co podane w tabeli.
Zainteresowani uczniowie mogą sięgnąć do informacji o zapisie liczby w systemie dwójkowym, co nie było wymagane do poprawnego rozwiązania zadania. Układ zapalonych i zgaszonych światełek można interpretować jako ilustrację zapisu liczby w systemie dwójkowym. Każde wejście do budynku generuje liczbę o 1 większą niż poprzednio. Interpretując zadanie w ten sposób można rozważać dalsze pytania. Ustalenie ile wejść wymagane jest w danej sytuacji wymaga zazwyczaj znalezienia minimalnej / maksymalnej liczby binarnej, odpowiadającej zapisanym w zadaniu warunkom, a następnie wykonania dodawania lub odejmowania.